Veja os videos da aula da semana 5

** Para nossos querido amigos colegas, aqui estão disponíveis os vídeos sobre REDES SOCIAIS, propostas na aula do dia 13/05/2010.

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O Método Para Bem Conduzir a Razão de Descartes

No início do século XVII, a geometria predominava na Matemática. As contribuições de Euclides careciam de métodos gerais, havendo o predomínio de figuras elementares tais como círculos, retas e triângulos. Segundo o próprio Descartes (1596-1650), "só exercitava o entendimento ao custo de fatigar enormemente a imaginação".

A época porém era de profundas transformações científicas e tecnológicas, razão pela qual impunha-se uma matemática mais integrada e operacional. Os primeiros passos nesta direção foram dados por Descartes e Pierre de Fermat que desenvolveram ideias que culminaria na atual geometria analítica.

O pai de Descartes preocupado com a educação de seu filho, matriculou-o , aos 8 anos de idade, no colégio jesuíta de La Fléche, cujo padrão de ensino era o que havia de melhor. Ao concluir seu curso, Descartes saiu extremamente confuso e perguntava: Há algum ramo do conhecimento que realmente ofereça segurança? E não vislumbrava resposta senão a Matemática, com a certeza oferecida pelas suas demonstrações. Desde de muito jovem as preocupações de ordem filosófica se manifestavam nele.

Aos 20 anos, já graduado em Direito pela Universidade de Poitiers, Descartes estabelece-se em Paris, mas logo entra voluntariamente para a carreira militar a fim de conhecer o "mundo". Segundo o próprio Descartes, os delineamentos de sua filosofia surgiram quando servia no exército da Baviera. Em 1629, já desligado das armas, fixa-se na Holanda, um país em que havia mais liberdade de pensamento do que era usual na época. Foi nesse período que veio à luz sua geometria.

A obra-prima de Descartes é o "Discurso Sobre o Método para bem Conduzir a Razão nas Ciências", publicado em 1637, na qual expõe a essência de sua filosofia que, em suma, é uma defesa do método matemático como modelo para a aquisição do conhecimento.

Na parte 2 de seu livro, Descartes diz ter estudado: lógica, geometria e álgebra e que deveria olhar para outros métodos que devem combinar as vantagens dessas três disciplina, e ainda ser isento de seus defeitos. Propõe as quatro regras a seguir, em conjunto elas podem ser consideradas “o coração de sua filosofia”.

O primeiro consistia em nunca aceitar como verdadeira nenhuma coisa que eu não conhecesse evidentemente como tal; isto é, em evitar, com todo o cuidado, a precipitação e a prevenção, só incluindo nos meus juízos o que não se apresentasse de modo tão claro e distinto a meu espírito, que eu não tivesse ocasião alguma para dele duvidar.

O segundo, em dividir cada uma das dificuldades que devesse examinar em tantas partes quanto possível e necessário para resolvê-las.

O terceiro, em conduzir por ordem meus pensamentos, iniciando pelos objetos mais fáceis de conhecer, para subir, aos poucos, gradativamente, ao conhecimento dos mais compostos, e supondo também, naturalmente, uma ordem de precedência de uns em relação aos outros.

E o quarto, em fazer, para cada caso, enumerações tão completas e revisões tão gerais, que eu tivesse a certeza de não ter omitido nada. (DESCARTES, 2002, p.31-32)

Descartes procurava estabelecer regras universais para resolver problemas de toda natureza. Isto é notado claramente em A Geometria quando estabelece um método que, segundo ele, resolve todos os problemas em Geometria. Esse método é aplicado na resolução do problema de Pappus pela primeira vez. A resolução desse problema é considerada a base para o desenvolvimento da Geometria Analítica.

Em um tratado de , De Solidorum Elementis, de Descartes, aparece a fórmula , erradamente e freqüentemente atribuída a Euler que relaciona as arestas , os vértices e as faces de um poliedro regular. Para muitos, isso foi uma tentativa de algebrizar a geometria sólida.

A classificação de curvas dada na parte dois da Geometria é para muitos uma tentativa de estabelecer os limites epistemológicos e ontológicos da Geometria, determinando assim o início e o fim da Geometria. O método da tangente também é considerado um marco de seu trabalho. Descartes não usa a idéia de limites que só foi introduzido um pouco mais tarde por Pierre de Fermat .

O Discurso Sobre o Método fez de Descartes um homem famoso ainda em vida. O fato de ter escrito essa obra em francês (ao invés do latim, lingua científica da época) tornou mais fácil a difusão de suas ideias filosóficas. Mas estas não eram bem aceitas pelas universidades e pela Igreja da época. Assim, é que, quando seus restos mortais foram depositados no monumento erigido na França em sua memória, a oração fúnebre foi proibida pela corte de seu país.

Referências Bibliográficas:
- Domingues, Hygino. Coleção Fundamentos de Matemática Elementar - Geometria Analítica.
- Freitas Vaz, Duce Aparecida de. A Matemática e a Filosofia de René Descartes. Universidade Católica de Goiás.

Gostará de ler também:
- Aprendendo a Aprender Matemática;
- Existem Apenas 5 Poliedros de Platão;
- Descartes e a Equação Quadrática.

Área de um Retângulo

Para calcular a área de uma figura, escolhemos como unidade de área um quadrado cujos lados sejam de comprimento unitário. Assim, se a unidade de medida for o centímetro, a unidade de área correspondente será o centímetro quadrado, isto é, um quadrado cujos lados medem cm.

Observe que as fórmulas para calcular as áreas de algumas figuras geométricas tais como, triângulos, paralelogramos, losangos e trapézios são deduzidas a partir da fórmula que calcula a área do retângulo.

Teorema: Dado um retângulo de lados e racionais ou não, sua área .

Demonstração: Para ver isso, dividiremos a prova em duas partes. A primeira é supor que e são racionais positivos, isto é,

onde e são inteiros positivos. De , segue que

A grandeza é a medida comum dos dois lados. Assim, podemos reescrever as expressões dada em por

Para concluir este caso, subdividimos o retângulo em pequenos quadrados de lado , cuja área de cada quadrado é . Observe que o número total desses quadrados é dado por

A última igualdade foi obtida usando . Logo, a área do retângulo é igual ao número total de "quadradinhos" vezes a área de cada "quadradinho", ou seja,

Para o caso em que e são irracionais, usamos o fato que existem sequências de racionais e tais que

Seja a área do retângulo de lados e . Sendo esses lados racionais, pelo item anterior, temos . Definindo

mostraremos que com e irracionais. De fato, usando as expressões , temos:

Exemplo: Na figura acima, temos um retângulo de base e altura sendo e escalas distintas. Suponhamos que e . Assim, o número total de quadrados de lado é

Logo, a área do retângulo é dada por . Outro modo, é notar que a base é e a altura é dada por . Logo, teremos "quadradinhos" de lado . Portanto, o retângulo possui área de .

Observação 1: O método de Eudoxo de dupla redução ao absurdo também pode ser aplicado mostrando que e não podem ocorrer. Alguns autores usam a teoria das proporções para obter este resultado, mas sabemos que esta teoria está intimamente relacionada com a moderna teoria dos limites.

Observação 2: Prosseguindo de modo análogo, podemos mostrar que o volume de um paralelelípedo retângulo de lados , e racionais ou não é o produto de seus lados.

Referência Bibliográfica:
- Richard Courant. O Que é Matemática? Editora Ciência Moderna Ltda. Rio de Janeiro, 2000.
Fonte: http://fatosmatematicos.blogspot.com/