Acadêmicos da Matemática *Original

Para calcular a área de uma figura, escolhemos como unidade de área um quadrado cujos lados sejam de comprimento unitário. Assim, se a unidade de medida for o centímetro, a unidade de área correspondente será o centímetro quadrado, isto é, um quadrado cujos lados medem $[;1;]$ cm.

Observe que as fórmulas para calcular as áreas de algumas figuras geométricas tais como, triângulos, paralelogramos, losangos e trapézios são deduzidas a partir da fórmula que calcula a área do retângulo.

Teorema: Dado um retângulo de lados $[;a;]$ e $[;b;]$ racionais ou não, sua área $[;S = ab;]$ .

Demonstração: Para ver isso, dividiremos a prova em duas partes. A primeira é supor que $[;a;]$ e $[;b;]$ são racionais positivos, isto é,

$[;a = \frac{m_1}{n_1} \qquad \text{e} \qquad b = \frac{m_2}{n_2} \qquad (1);]$

onde $[;m_1,n_1,m_2;]$ e $[;n_2;]$ são inteiros positivos. De $[;(1);]$ , segue que

$[;a = \frac{m_1}{n_1} = \frac{m_1n_2}{n_1n_2}\qquad \text{e} \qquad b = \frac{m_2}{n_2} = \frac{m_2n_1}{n_2n_1} \qquad (2);]$

A grandeza $[;1/m := 1/(n_1n_2);]$ é a medida comum dos dois lados. Assim, podemos reescrever as expressões dada em $[;(2);]$ por

$a = \frac{m_1n_2}{m} \qquad \text{e} \qquad b = \frac{m_2n_1}{m} \qquad (3)$

Para concluir este caso, subdividimos o retângulo em pequenos quadrados de lado $[;1/m;]$ , cuja área de cada quadrado é $[;1/m^2;]$ . Observe que o número total $[;N;]$ desses quadrados é dado por

$[;N = \frac{a}{1/m}\cdot \frac{b}{1/m} = abm^2 = m_1n_2m_2n_1 ;]$

A última igualdade foi obtida usando $[;(3);]$ . Logo, a área $[;S;]$ do retângulo é igual ao número total de "quadradinhos" vezes a área de cada "quadradinho", ou seja,

$[;S = N\cdot \frac{1}{m^2} = m_1n_2m_2n_1\cdot \frac{1}{m^2} = \frac{m_1n_2m_2n_1}{n_{1}^{2}n_{2}^{2}} = \frac{m_1}{n_1}\cdot \frac{m_2}{n_2} = ab;]$

Para o caso em que $[;a;]$ e $[;b;]$ são irracionais, usamos o fato que existem sequências de racionais $[;(x_n);]$ e $[;(y_n);]$ tais que

$[;\lim_{n \to \infty} x_n = a \qquad \text{e} \qquad \lim_{n \to \infty} y_n = b \qquad (4);]$

Seja $[;S_n;]$ a área do retângulo de lados $[;x_n;]$ e $[;y_n;]$ . Sendo esses lados racionais, pelo item anterior, temos $[;S_n = x_ny_n;]$ . Definindo

$[;S = \lim_{n \to \infty} S_n;]$

mostraremos que $[;S = ab;]$ com $[;a;]$ e $[;b;]$ irracionais. De fato, usando as expressões $[;(4);]$ , temos:

$[;S = \lim_{n \to \infty}S_n = \lim_{n \to \infty}(x_ny_n) = \lim_{n \to \infty}x_n \cdot \lim_{n \to \infty}y_n = ab;]$

Exemplo: Na figura acima, temos um retângulo de base $[;5\ u_1;]$ e altura $[;3\ u_2;]$ sendo $[;u_1;]$ e $[;u_2;]$ escalas distintas. Suponhamos que $[;u_1 = 2\ u;]$ e $[;u_2 = 3\ u;]$ . Assim, o número total de quadrados de lado $[;u;]$ é

$[;N = \frac{5u_1}{u}\cdot \frac{3u_2}{u} = 15\frac{u_1u_2}{u^2} = \frac{15\cdot 6\ u^2}{u^2} = 90;]$

Logo, a área do retângulo é dada por $[;S = N\cdot u^2 = 90\ u^2;]$ . Outro modo, é notar que a base é $[;5\ u_1 = 10\ u;]$ e a altura é dada por $[;3\ u_2 = 9\ u;]$ . Logo, teremos $[;90;]$ "quadradinhos" de lado $[;u;]$ . Portanto, o retângulo possui área de $[;90\ u^2;]$ .

Observação 1: O método de Eudoxo de dupla redução ao absurdo também pode ser aplicado mostrando que $[;S \prec ab;]$ e $[;S \succ ab;]$ não podem ocorrer. Alguns autores usam a teoria das proporções para obter este resultado, mas sabemos que esta teoria está intimamente relacionada com a moderna teoria dos limites.

Observação 2: Prosseguindo de modo análogo, podemos mostrar que o volume de um paralelelípedo retângulo de lados $[;a;]$ , $[;b;]$ e $[;c;]$ racionais ou não é o produto de seus lados.

Referência Bibliográfica:
- Richard Courant. O Que é Matemática? Editora Ciência Moderna Ltda. Rio de Janeiro, 2000.
Fonte: http://fatosmatematicos.blogspot.com/

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Área de um Retângulo

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